Решу огэ квадратные уравнения. Исчерпывающий гид (2019). Квадратные уравнения. средний уровень

Разбор задания №4 на тему: "Решение уравнений различного типа"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное пособие "Правила и упражнения по алгебре" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"

Задание №4 требует умение решать уравнения различного типа. Ребята, вы должны хорошо усвоить методы правильного решения квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений, обычных линейных уравнений. Также вы должны хорошо уметь производить действия с многочленами: умножение и деление многочлена на многочлен. Вам понадобиться умение выбирать корни уравнения, которые входят в область решения и определять, какие корни надо выбросить и не учитывать?

Уроки которые помогут вам при подготовке данного задания:

Перейдем к разбору примеров решения.

Пример 1.
Найдите корни уравнения: $16x^2-1=0$.

Решение.
Заметим, нам дано квадратное уравнение, но не полное. Коэффициент при х равен нулю. Тогда будем руководствоваться правилом: "те выражения, в которых есть х в квадрате, оставим слева, а все числа перенесем на право".
Преобразуем наше выражение: $16x^2=1$.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при х квадрат: $x^2=\frac{1}{16}$.

Для решения данного уравнения, нам понадобятся знания корня квадратного. Извлечем корень, не забывая о том, что отрицательное число мы должны тоже учитывать: $x=±\sqrt{\frac{1}{16}}=±\frac{1}{4}=±0,25$.
Ответ: $x=±0,25$.

Пример 2.
Решите уравнение: $x^2=18-7x$.

Решение.
Перенесем все выражения в левую часть уравнения: $x^2+7x-18=0$.

Обычное квадратное уравнение мы можем решить двумя способами:
1. "в лоб", вычисляя дискриминант;
2. используя теорему Виетта.

1 способ.
Выпишем все коэффициенты при квадратном уравнении: $a=1$, $b=7$, $c=-18$.

Найдем дискриминант: $D=b^2-4ac=(7)^2-4*1*(-18)=49+72=121=(11)^2>0$.
Получили, что уравнение имеет 2 корня.
Нам осталось найти эти корни:
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7+11}{2}=2$.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7-11}{2}=-9$.

2 способ.
Воспользуемся теоремой Виетта. Теорема Виетта часто упрощает решение квадратных уравнений во много раз, особенно когда коэффициент $а=1$. В этом случае произведение корней уравнения равно коэффициенту $с$, и сумма корней уравнения равна минус коэффициенту при $b$:
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.
$x_1*x_2=\frac{c}{a}$.

В нашем примере $с=-18$ и $b=7$. Начинаем перебирать пары чисел, произведение которых равно минус восемнадцать. Первые числа приходящие на ум - девятка и двойка. Произведя несколько простых перемножений и сложений можно убедиться, что нам подходят корни $х=-9$ и $х=2$.
$x_1*x_2=-9*2=-18=\frac{c}{a}$.
x$_1+x_2=-9+2=-7=-\frac{b}{a}$.
Ответ: $x=-9$, $x=2$.

Пример 3.
Решить уравнение: $x-\frac{x}{7}=\frac{15}{7}$.

Решение.
Нам дано обычное линейное уравнение с дробными коэффициентами. Для решения этого уравнения нужно правильно действовать с обычными дробями.
Первым действием преобразуем левую часть уравнения, упростив ее: $x-\frac{x}{7}=\frac{7x}{7}-\frac{x}{7}=\frac{6x}{7}$.
Получили уравнение: $\frac{6x}{7}=\frac{15}{7}$.
Разделим правую часть уравнения на коэффициент при х: $x=\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}$.

Рассмотрим отдельно деление: $\frac{\frac{15}{7}}{\frac{6}{7}}=\frac{15}{7}*\frac{7}{6}=\frac{15}{6}=2\frac{3}{6}=2\frac{1}{2}=2,5$.

Получили: $x=2,5$.
Ответ: $x=2,5$.

Пример 4.
Решите уравнение: $(x+2)^2=(x-4)^2$.

Решение.
Способ 1.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
$(x-4)^2=x^2-8x+16$.
Получили: $x^2+4x+4=x^2-8x+16$.
Упростим наше уравнение:
$x^2+4x-x^2+8x=16-4$.
$12x=12$.
$x=1$.

Способ 2.
При решении данного уравнения мы можем воспользоваться формулой разности квадратов. $(x+2)^2-(x-4)^2=0$.
$(x+2+x-4)(x+2-x+4)=0$.
$(2x-2)*(6)=0$.
$2x-2=0$.
$2x=2$.
$x=1$.
Ответ: $х=1$.

Пример 5.
Решить уравнение: $\frac{9}{x-14}=\frac{14}{x-9}$.

Решение.
Нам представлено дробно-рациональное уравнение. При решении данных уравнений стоит помнить о том, что делить на нуль нельзя. Поэтому корни уравнения стоит проверять всегда, подстановкой их в знаменатель исходного уравнения.
Воспользуемся правилом умножения крест на крест: $9(x-9)=14(x-14)$.
Получили линейное уравнение:
$9x-81=14x-196$.
$9x-14x=-196+81$.
$-5x=-115$.
$x=23$.
Проверив наш корень, убеждаемся, что знаменатели дробей исходного уравнения не обращаются в нуль.
Ответ: $x=23$.

Пример 6.
Найдите решения удовлетворяющие системе: $\begin {cases} x^2+9x-22=0, \\ x≤1 \end {cases}$.

Решение.
Сначала решим квадратное уравнение, воспользовавшись теоремой Виетта. Произведение наших корней равно $22$, а сумма равна $-9$.
Подберем корни:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Получили два корня: $x_1=-11$ и $x_2=2$. Из этих корней неравенству $x≤1$ удовлетворяет первый корень, он и будет ответом.
Ответ: $х=-11$.

Пример 7.
Решите уравнение: $23x-60-x^2=0$.
В ответе укажите модуль разности корней.

Решение.
Умножим исходное уравнение на $-1$: $x^2-23x+60=0$.
В такой форме уравнение смотрится гораздо привычнее.
Воспользуемся теоремой Виетта и представим наше уравнение, как произведение двухчленов:
$(x-20)(x-3)=0$.
Получили два корня $x_1=20$ и $x_2=3$.
Найдем модуль разности: $|x_1-x_2|=|20-3|=|17|=17$.
Ответ: 17.

Пример 8.
Сколько корней имеет уравнение $x^6-x^2=0?$

Решение.
Вынесем за скобку наименьшую степень: $x^2(x^4-1)=0$.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:
$x^2 (x^2-1)(x^2+1)=0$.
И еще раз воспользуемся той же формулой:
$x^2 (x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: Получили, что у данного уравнения три корня.
Ответ: 3.

Пример 9.
Решите уравнение: $\frac{(x-2)(2x+1)}{2-x}=0$.
Если уравнение имеет больше одного корня, то в ответ запишите больший из них.

Решение.
Исходное уравнение равносильно следующей совокупности: Решим каждое уравнение: Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, одно решение у нас отпадает. Получили один корень уравнения $х=-0,5$.
Ответ: -0,5.

Александр Шабалин

Учитель : Юргенсон Вероника Александровна

Класс: 9

Предмет: Алгебра

Тема урока: Урок-подготовка к ОГЭ в 9 классе «Квадратные уравнения».

Этап обучения по данной теме : подготовка к ОГЭ.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний

Цель:

Деятельностная: Формирование у учащихся умений реализовывать регулятивные способы действия.

Содержательная: - отработка способов решения квадратных уравнений;

Выработка умения выбирать наиболее рациональный способ решения;

Развивающая: формировать ключевые компетенции учащихся: информационную (умение анализировать информацию, сравнивать, делать выводы), проблемную (умение ставить проблемы и с помощью имеющихся знаний находить выход из ситуации); коммуникативную (умение работать в группах, умение слушать и слышать других, принимать мнение других)

Задачи для учителя:

Способствовать актуализации знаний учащихся о решении квадратных уравнений;

Организовать учебную деятельность для отработки способов решения квадратных уравнений;

Создать условия для формирования навыков для выработки умения выбирать наиболее рациональный способ решения;

Создать условия для формирования регулятивных УУД: целепологания, самооценки и самоконтроля, планирования.

Технология: Разноуровневого обучения

Методы обучения: Наглядный, словесный, метод взаимной проверки, метод совместного нахождения оптимального решения, временная работа в группах, создание проблемной ситуации, репродуктивные(инструктаж, иллюстрирование, объяснение, практическая тренировка). Методы самоконтроля.

Используемые формы организации познавательной деятельности учащихся:

Коллективная форма работы (фронтальный опрос, устная работа), групповая, индивидуальная работа (самостоятельная работа).работа в парах(взаимоопрос).

Оборудование и основные источники информации:

Компьютер, проектор, экран, презентация к уроку, по теме «Способы решения квадратных уравнений».

Лист результативности для контроля и самоконтроля.

Карточки-задания для разноуровневых самостоятельных работ

Технологическая карта урока:

ученика

Организацион-ный

Приветствие учеников

Приветствие учителя

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

На итоговой аттестации часто встречаются задания, где необходимо уметь решать квадратные уравнения.

Сообщение цели урока :

Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения квадратных уравнений.

По итогам своей работы, то есть по количеству набранных баллов каждый получит оценки.

Девиз урока: «Думаем, мыслим, работаем и помогаем друг другу»

(Слайд 2 ).

Слушают учителя.

Актуализация знаний.

Ребята, обычно мы начинаем урок с проверки домашнего задания.

Кто скажет, что нужно было повторить про квадратные уравнения?

Что такое квадратные уравнения?

Какие они бывают?

Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете?

Отвечают на вопросы учителя проводят самооценку своих знаний.

Обобщение и систематизация знаний

1.Взаимоконт-роль.

Вот уравнения (слайд 3)

x 2 + 7 x – 18 = 0;

2 x 2 + 1 = 0;

x 2 –2 x + 9 = 0;

2 y 2 – 3y + 1 = 0;

2 y 2 = 1;

–2 x 2 – x + 1 = 0;

x 2 + 6 x = 0;

4x 2 =0;

– x 2 – 6 x=1

2 x + x 2 – 1=0

У вас на столе карточка с вопросами, на которые вам надо ответить (приложение 1).

(слайд 4 ) Проверяем результаты, поменяйтесь карточками с соседом.

Отвечают на вопросы

2. Фронтальная работа с классом.

На (слайде 5) записаны формулы с пропущенными элементами. Задача класса узнать, что это за формула и чего не хватает в записи этой формулы.

D = b ² – * a * .

D > 0 , значит * корня.

D * 0 , значит 1 корень.

D * 0 , значит * корней.

Отвечают на вопросы,

корректируют знания.

Решите уравнения с карточки. Один из членов группы покажет решение на доске.

Сравните ваши ответы с правильными, за каждый правильный ответ – 1 балл

Решают уравнения,

Объясняют решение.

Фронтальная работа с классом

Скажите, а могли бы вы сразу, не производя вычислений, ответить на мой вопрос: «Чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения?» (Один человек у доски записывает формулы теоремы Виета).

(слайд6)

Следующее задание: устно найти сумму и разность корней уравнения по теореме:

(ответы: 5 и 6; 9 и 20; -3 и 2) Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида a х 2 + b х + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.

Рассмотрим эти свойства (слайд7)

1) a + b +с = 0 х 1 = 1, х 2 = с/а.

5х 2 + 4х – 9 = 0; х 1 =1, х 2 = - 9/2.

2) а - b + с = 0 х 1 = - 1, х 2 = - с/а.

Например: 4х 2 + 11х + 7 = 0; х 1 = - 1, х 2 = - 7/4.

(слайд8)

3) а  в +с  0

Устно решить уравнение: х 2 + b х + ас = 0

Его корни разделить на а.

а) 2х 2 – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х 2 – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10. Делим на 2.

Тогда х 1 = , х 2 = 5.

Ответ: ; 5.

(слайд9)

в) 6х 2 –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х 2 –7х – 18 = 0. Его корни -2 и 9. Делим на 6.

Тогда х 1 = - , х 2 = .

Ответ: -; .

Отвечают на вопросы. Заполняют пробелы в знаниях

Работа в разноуровневых группах

Прием «Соответствие»

Прием «Лови ошибку»

Решите уравнения, используя эти свойства (слайд 10)

1)найдите сумму корней уравнения

2х 2 – 3х + 1 = 0

2) Найдите произведение корней уравнения

х 2 +9х +20 = 0

3)решите уравнение

10х 2 – 8х - 2= 0

II группа.

1)найдите сумму и произведение корней уравнения

3х 2 – 8х + 5 = 0

Решите уравнения

2)х 2 + 2х -24 = 0

3)2 х 2 -7х +5 = 0

III группа

Решите уранения:

1)х 2 +5х-6=0

2)5х 2 -7х+2=0

3)100х 2 -99х-199=0

Решают уравнения

Проверяют решение.

Проводят коррекцию знаний.

2.Соотнесите квадратные уравнения и способы их решения:

(слайд 11)

7 х 2 = 8х

х 2 – 10х + 100 = 0

х 2 –5х –6 = 0

– 2х 2 + х +14= 0

-разложение на множители

- общая формула корней

-теорема Виета

3.Найдите ошибки в решении уравнений =

Ребята, выполнившие работу быстро, могут решить дополнительно задание (слайд 14), написанное на доске.

После выполнения проводится быстрая проверка. (слайд15)

А теперь посчитайте итоговое количество баллов и выставите себе оценку. (слайд16)

30- 24баллов –оценка 5;

23-18балла –оценка4;

12-17 балла –. оценка4

А ещё каждому выставляется оценка учителем, за активность, смелость, упорство. Ну, а если кому – то, сегодня не удалось набрать баллы на положительную оценку, то успех у вас ещё впереди, и он обязательно будет с вами в следующий раз.

Решают уравнения,

проводят самооценку.

Рефлексия.

Кто скажет, что сегодня мы повторили на уроке?

Вам понравилось, как мы это делали?

Продолжи фразы:

Теперь я точно знаю …

Я понял …

Я научился …

Моё мнение …

У каждого на столе цветные карточки.

Если ты доволен и удовлетворен уроком, поднимаешь – зеленую карточку.

Если урок интересный, и ты активно работал, поднимаешь – жёлтую карточку.

проводят самооценку.

Домашнее задание

(слайд 17) Решить уравнения из сборника заданий

Государственная итоговая аттестация

выпускников 9 класса.

А.В. Семенов, А.С.Трепалин, И.В.Ященко

по уровням

Выбирают задания по своему уровню

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

! От теории - к практике;

! От простого - к сложному

МАОУ "Платошинская средняя школа",

учитель математики, Мелехина Г.В.

Общий вид линейного уравнения: ax + b = 0 ,

Где a и b – числа (коэффициенты).

• если а = 0 и b = 0 , то 0х + 0 = 0 – бесконечно много корней;
• если а = 0 и b ≠ 0 , то 0х + b = 0 – нет решений;
• если а ≠ 0 и b = 0 , то ax + 0 = 0 – один корень, х = 0;
• если а ≠ 0 и b ≠ 0 , то ax + b = 0 – один корень,

! Если Х в первой степени и не содержится в знаменателе, то это - линейное уравнение

! А если линейное уравнение – сложное :

! Слагаемые с Х влево, без Х – вправо.

! Эти уравнения – тоже линейные .

! Основное свойство пропорции (крест накрест).

! Раскрыть скобки, с Х влево, без Х вправо.

• если коэффициент а = 1 , то уравнение называют приведённым :

• если коэффициент b = 0 или (и) с = 0 , то уравнение называют неполным :

! Основные формулы

! Ещё формулы

Биквадратным уравнением - называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c = 0 .

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки, тогда

Получим квадратное уравнение:

Найдём корни и и вернёмся к замене:

Пример 1:

Решить уравнение х 4 + 5х 2 – 36 = 0.

Решение:

Подстановка: х 2 = t.

t 2 + 5t – 36 = 0. Корни уравнения t 1 = -9 и t 2 = 4.

х 2 = -9 или х 2 = 4.

Ответ: В первом уравнении корней нет, из второго: х = ±2.

Пример 2:

Решить уравнение (2х – 1) 4 – 25(2х – 1) 2 + 144 = 0.

Решение:

Подстановка: (2х – 1) 2 = t.

t 2 – 25t + 144 = 0. Корни уравнения t 1 = 9 и t 2 = 16.

(2х – 1) 2 = 9 или (2х – 1) 2 = 16.

2х – 1 = ±3 или 2х – 1 = ±4.

Из первого уравнения два корня: х = 2 и х = -1, из второго тоже два корня: х = 2,5 и х = -1,5.

Ответ: -1,5; -1; 2; 2,5.

1) х 4 - 9 х 2 = 0; 2) 4 х 4 - х 2 = 0;

1) х 4 + х 2 - 2 = 0;

2) х 4 - 3 х 2 - 4 = 0; 3) 9 х 4 + 8 х 2 - 1 = 0; 4) 20 х 4 - х 2 - 1 = 0.

Решить уравнения выделением из левой части полного квадрата :

1) х 4 - 20 х 2 + 64 = 0; 2) х 4 - 13 х 2 + 36 = 0; 3) х 4 - 4 х 2 + 1 = 0; 4) х 4 + 2 х 2 +1 = 0.

! Вспомни квадрат суммы и квадрат разности

Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной x с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(x) - рациональное выражение, то уравнение r(x)=0 называют рациональным уравнением.

Алгоритм решения рационального уравнения:

1. Перенести все члены уравнения в одну часть.

2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби p(x)/q(x)

3. Решить уравнение p(x)=0

4. Для каждого корня уравнения p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x)≠0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.

! Вспомним решение дробного рационального уравнения:

! Для решения уравнений полезно вспомнить формулы сокращённого умножения:

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, то уравнение называют иррациональным .

Метод возведения в квадрат обеих частей уравнения - основной метод решения иррациональных уравнений.

Решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку , отсеяв возможные посторонние корни.

Ответ: 5; 4

Ещё пример:

Проверка:

Выражение не имеет смысла.

Ответ: нет решений.

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное». Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

Решение многих уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Пример 1.

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2.

Домножим левую и правую часть на:

Это уравнение, хотя в нем изначально был, не является квадратным!

Пример 3.

Домножим все на:

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену, то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

Пример 4.

Вроде бы есть, но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

Видишь, сократился - и теперь это простое линейное уравнение!

Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет:

Примеры:

Ответы:

1. квадратное;
2. квадратное;
3. не квадратное;
4. не квадратное;
5. не квадратное;
6. квадратное;
7. не квадратное;
8. квадратное.

Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:

• Полные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициенты и, а также свободный член с не равны нулю (как в примере). Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные - это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

• Неполные квадратные уравнения - уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:

  Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате!!! Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно. Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений - они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают типов:

1. , в этом уравнении коэффициент равен.
2. , в этом уравнении свободный член равен.
3. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

1. и. Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

Выражение может быть как отрицательным, так и положительным. Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел - результатом всегда будет положительное число, так что: если, то уравнение не имеет решений.

А если, то получаем два корня. Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше.

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5:

Решите уравнение

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!!!

Пример 6:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 7:

Решите уравнение

Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней!

Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок - (пустое множество). И ответ можно записать так:

Ответ:

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.
Пример 8:

Решите уравнение

Вынесем общий множитель за скобки:

Таким образом,

У этого уравнения два корня.

Ответ:

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение где

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если, то уравнение имеет корняНужно особое внимание обратить на шаг. Дискриминант () указывает нам на количество корней уравнения.

• Если, то формула на шаге сократится до. Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
• Если, то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9:

Решите уравнение

Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ:

Пример 10:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

А значит уравнение имеет один корень.

Ответ:

Пример 11:

Решите уравнение

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Находим дискриминант:

Азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

Ответ: Корней нет

2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен):

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна, а произведение корней равно.

Пример 12:

Решите уравнение

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .

Сумма корней уравнения равна, т.е. получаем первое уравнение:

А произведение равно:

Составим и решим систему:

• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Ответ: ; .

Пример 13:

Решите уравнение

Ответ:

Пример 14:

Решите уравнение

Уравнение приведенное, а значит:

Ответ:

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Что такое квадратное уравнение?

Другими словами, квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.

Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, - вторым коэффициентом , а - свободным членом .

Почему? Потому что если, уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет.

При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным. Если же все слагаемые на месте, то есть, уравнение - полное.

Решения различных типов квадратных уравнений

Методы решения неполных квадратных уравнений:

Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений - они проще.

Можно выделить типа таких уравнений:

I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны.

II. , в этом уравнении коэффициент равен.

III. , в этом уравнении свободный член равен.

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

если, то уравнение не имеет решений;

если, имеем учаем два корня

Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

нет корней.

Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества.

Ответ:

Итак, это уравнение имеет два корня: и.

Ответ:

Вынесем общим множитель за скобки:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и.

Пример:

Решите уравнение.

Решение:

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

Ответ:

Методы решения полных квадратных уравнений:

1. Дискриминант

Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней? Но ведь дискриминант может быть отрицательным. Что делать? Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.

• Если, то уравнение имеет корня:
• Если, то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:

  Такие корни называются двукратными.

• Если, то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Почему возможно разное количество корней? Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, . А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось). Парабола может вообще не пересекать ось, либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент. Если, то ветви параболы направлены вверх, а если - то вниз.

Примеры:

Решения:

Ответ:

Ответ: .

Ответ:

А значит, решений нет.

Ответ: .

2. Теорема Виета

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма - второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Важно помнить, что теорему Виета можно применять только в приведенных квадратных уравнениях ().

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1:

Решите уравнение.

Решение:

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. . Остальные коэффициенты: ; .

Сумма корней уравнения равна:

А произведение равно:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, и проверим, равна ли их сумма:

• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна;
• и. Сумма равна.

и являются решением системы:

Таким образом, и - корни нашего уравнения.

Ответ: ; .

Пример №2:

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, а затем проверим, равна ли их сумма:

и: в сумме дают.

и: в сумме дают. Чтобы получить, достаточно просто поменять знаки предполагаемых корней: и, ведь произведение.

Ответ:

Пример №3:

Решение:

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней - отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой - положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей .

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают, и разность которых равна:

и: их разность равна - не подходит;

и: - не подходит;

и: - не подходит;

и: - подходит. Остается только вспомнить, что один из корней отрицательный. Так как их сумма должна равняться, то отрицательным должен быть меньший по модулю корень: . Проверяем:

Ответ:

Пример №4:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно, а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Очевидно, что под первое условие подходят только корни и:

Ответ:

Пример №5:

Решите уравнение.

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно:

Очевидно, что корнями являются числа и.

Ответ:

Согласись, это очень удобно - придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма. А для этого порешай-ка еще пяток примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета:

Решения заданий для самостоятельной работы:

Задание 1. {{x}^{2}}-8x+12=0

По теореме Виета:

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Не подходит, так как сумма;

: сумма - то что надо.

Ответ: ; .

Задание 2.

И снова наша любимая теорема Виета : в сумме должно получиться, а произведение равно.

Но так как должно быть не, а, меняем знаки корней: и (в сумме).

Ответ: ; .

Задание 3.

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

Сумма корней равна, произведение.

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение - значит сделать старший коэффициент равным:

Отлично. Тогда сумма корней равна, а произведение.

Тут подобрать проще простого: ведь - простое число (извини за тавтологию).

Ответ: ; .

Задание 4.

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна, а произведение.

Итак, корни равны и, но один из них с минусом. Теорема Виета говорит нам, что сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, то есть. Значит, минус будет у меньшего корня: и, так как.

Ответ: ; .

Задание 5.

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

Снова: подбираем множители числа, и их разность должна равняться:

Корни равны и, но один из них с минусом. Какой? Их сумма должна быть равна, значит, с минусом будет больший корень.

Ответ: ; .

Подведу итог:

1. Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
2. Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
3. Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

3. Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное, представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения - квадрата суммы или разности - то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа.

Например:

Пример 1:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

Пример 2:

Решите уравнение: .

Решение:

Ответ:

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

Отсюда следует: .

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратное уравнение - это уравнение вида, где - неизвестное, - коэффициенты квадратного уравнения, - свободный член.

Полное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициенты, не равны нулю.

Приведенное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент, то есть: .

Неполное квадратное уравнение - уравнение, в котором коэффициент и или свободный член с равны нулю:

• если коэффициент, уравнение имеет вид: ,
• если свободный член, уравнение имеет вид: ,
• если и, уравнение имеет вид: .

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений

1.1. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Выразим неизвестное: ,

2) Проверяем знак выражения:

• если, то уравнение не имеет решений,
• если, то уравнение имеет два корня.

1.2. Неполное квадратное уравнение вида, где, :

1) Вынесем общим множитель за скобки: ,

2) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение имеет два корня:

1.3. Неполное квадратное уравнение вида, где:

Данное уравнение всегда имеет только один корень: .

2. Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида где

2.1. Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: ,

2) Вычислим дискриминант по формуле: , который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

• если, то уравнение имеет корня, которые находятся по формуле:
• если, то уравнение имеет корень, который находится по формуле:
• если, то уравнение не имеет корней.

2.2. Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида, где) равна, а произведение корней равно, т.е. , а.

2.3. Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида имеет корни, то его можно записать в виде: .

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!